[Seminar] Ordinary Differential Equations: Nền tảng mô hình hóa cho Toán ứng dụng – Buổi 4

Vào ngày 14 tháng 08 năm 2026, Khoa Khoa học cơ sở tổ chức sinh hoạt khoa học với chủ đề: “Ordinary Differential Equations – Nền tảng mô hình hóa cho Toán ứng dụng – Buổi 4”. Tiếp nối chuỗi sinh hoạt khoa học về ODEs, Khoa Khoa học cơ sở tổ chức buổi seminar thứ 4 với các nội dung tập trung vào phương pháp xấp xỉ số, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, và phương trình sai phân cấp một mô hình hóa các hệ thống rời rạc. 

Người trình bày: TS Lê Thị Anh, Khoa Khoa học cơ sở.

Thành phần tham dự: Toàn thể giảng viên Khoa Khoa học cơ sở và các giảng viên quan tâm.

Người trình bày đã trình bày các nội dung:

• Numerical Approximations: Euler’s Method: cầu nối trực tiếp giữa phương trình vi phân và thuật toán tính toán. Từ tốc độ thay đổi của hệ thống, nghiệm được xây dựng từng bước trên một lưới rời rạc, đặt nền tảng cho tư duy numerical approximation, error và convergence. 
• The Existence and Uniqueness Theorem: nền tảng lý thuyết để xác lập sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu và nghiệm được xác định duy nhất trong những điều kiện thích hợp. Đây là cơ sở để hiểu đúng ý nghĩa của việc xấp xỉ nghiệm bằng phương pháp số.
• First-Order Difference Equations: mở rộng từ mô hình liên tục sang mô hình rời rạc, cho thấy sự kết nối tự nhiên giữa differential equations, discrete dynamics và computational modeling – đặc biệt quan trọng đối với những hệ thống được quan sát và cập nhật theo từng thời điểm.

Một số ý kiến trao đổi:

• Về mối quan hệ giữa lý thuyết, xấp xỉ số và mô hình hóa: trong toán ứng dụng, việc tìm được nghiệm giải tích không phải lúc nào cũng là mục tiêu cuối cùng. Khi mô hình trở nên phức tạp, khả năng xấp xỉ nghiệm với sai số kiểm soát được là yếu tố quyết định khả năng đưa mô hình vào tính toán và thực tiễn. Euler’s Method cho thấy tư tưởng nền tảng của tính toán khoa học: quá trình liên tục có thể được chuyển thành một quy trình rời rạc để thực hiện trên máy tính. Tuy nhiên, phép rời rạc hóa luôn đi kèm sai số. Vì vậy, câu hỏi quan trọng không đơn giản là “có tính được nghiệm hay không”, mà là nghiệm xấp xỉ có hội tụ về nghiệm thực khi bước nhảy tiến về 0 hay không.
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm là nền tảng bảo đảm tính xác định của mô hình. Khi nghiệm tồn tại và duy nhất, việc xây dựng các thuật toán xấp xỉ mới thực sự có ý nghĩa: ta biết rõ thuật toán đang hướng tới đối tượng toán học nào và có cơ sở để đánh giá chất lượng của kết quả tính toán.
• Mối liên hệ giữa phương trình vi phân và phương trình sai phân: Nếu ODE mô tả động lực học trong thời gian liên tục, thì phương trình sai phân cung cấp một ngôn ngữ tự nhiên cho các hệ thống được quan sát theo thời gian rời rạc. Sự chuyển đổi này không chỉ có ý nghĩa kỹ thuật mà còn mở rộng phạm vi mô hình hóa sang kinh tế, tài chính, dữ liệu và các hệ thống động lực rời rạc.

• Phương trình vi phân cung cấp mô hình; định lý tồn tại và duy nhất cung cấp nền tảng lý thuyết; phương pháp số cung cấp công cụ tính toán; còn phương trình sai phân mở rộng tư duy mô hình hóa sang các hệ thống rời rạc. Đây chính là một trong những đặc trưng quan trọng của Toán ứng dụng hiện đại: không dừng lại ở việc tìm một nghiệm dưới dạng công thức, mà quan tâm đến toàn bộ chuỗi mô hình hóa – phân tích – tính toán – mô phỏng – diễn giải.

Một số hình ảnh