[Seminar] Ordinary Differential Equations: Nền tảng mô hình hóa cho Toán ứng dụng – Buổi 9

Vào ngày 18 tháng 09 năm 2026, Khoa Khoa học cơ sở tổ chức sinh hoạt khoa học với chủ đề: “Ordinary Differential Equations – Nền tảng mô hình hóa cho Toán ứng dụng”. Tiếp nối chuỗi sinh hoạt khoa học về ODEs, Buổi 9 tiếp tục đi sâu vào hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một, tập trung vào những cấu trúc quan trọng của ma trận và không gian nghiệm. Buổi 9 khai thác các trường hợp tinh tế hơn khi cấu trúc đại số của ma trận quyết định trực tiếp cấu trúc và hành vi của nghiệm, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa Linear Algebra – Differential Equations – Dynamical Systems. Từ ma trận, trị riêng và vector riêng có thể đi tới cấu trúc nghiệm; từ cấu trúc nghiệm, có thể nhận diện các chế độ động lực cơ bản của hệ. Đây là tinh thần cốt lõi của Toán ứng dụng: khai thác cấu trúc toán học để hiểu hành vi của hệ thống, thay vì chỉ thực hiện các phép tính nhằm tìm một công thức nghiệm.

Người trình bày: TS Phùng Minh Đức, Khoa Khoa học cơ sở.

Thành phần tham dự: Toàn thể giảng viên Khoa Khoa học cơ sở và các giảng viên quan tâm.

Người trình bày đã trình bày các nội dung về Systems of First-Order Linear Equations:

• Complex-valued eigenvalues: nghiệm thực thu được dưới dạng các hàm sin và cos, mô tả tự nhiên các chuyển động dao động và quay trong không gian trạng thái.
• Fundamental matrices: công cụ tổ chức toàn bộ hệ nghiệm độc lập tuyến tính của một hệ phương trình vi phân, tạo nên cấu trúc của toàn bộ không gian nghiệm.
• Repeated eigenvalues: các vector riêng độc lập có thể không đủ để tạo thành một cơ sở. Trường hợp này cho thấy rõ mối liên hệ giữa cấu trúc đại số của ma trận và cấu trúc nghiệm của hệ phương trình vi phân, dẫn tới các nghiệm chứa thừa số đa thức nhân với hàm mũ.
• Nonhomogeneous linear systems: cơ sở để nghiên cứu đáp ứng của các hệ động lực trước các nguồn kích thích.

Một số ý kiến trao đổi:

• Trị riêng thực gắn với các chế độ tăng trưởng hoặc suy giảm, trị riêng phức gắn với những thành phần dao động. Vì vậy, phổ của ma trận cung cấp một “bản đồ” quan trọng để đọc hành vi của hệ thống. Trường hợp trị riêng lặp cho thấy việc biết các trị riêng chưa phải lúc nào cũng đủ để xây dựng đầy đủ nghiệm. Cấu trúc của các vector riêng và khả năng chéo hóa của ma trận trở thành yếu tố quyết định. Đây là một ví dụ điển hình cho thấy cấu trúc đại số và cấu trúc động lực của một hệ thống không thể tách rời.
• Với hệ tuyến tính, ma trận cơ bản đóng vai trò tương tự như một hệ cơ sở trong đại số tuyến tính, cho phép biểu diễn và nghiên cứu có hệ thống mọi nghiệm của hệ.
• Đối với hệ không thuần nhất, sự phân tách giữa đáp ứng tự do của hệ và đáp ứng do tác động bên ngoài cho thấy một hệ thống không chỉ được đặc trưng bởi động lực nội tại, mà còn bởi cách nó phản ứng trước các tác động và tín hiệu từ môi trường.

Một số hình ảnh